4 Cosas que no sabes sobre la asombrosa Ley de Benford

Durante el desarrollo de la Asignatura de Auditoría Interna en el Programa Internacional de Maestría en Auditoría y Gestión de Control realizado entre la Universidad de Valencia de España y UNAPEC de República Dominicana, un estudiante me solicito que hablara sobre la Ley de Benford. Este se ha convertido en un tema común abordado por los expertos de la profesión, debido a que Departamentos de Auditoría Interna innovadores están usando cada vez más la Ley de Benford en la realización de sus pruebas, la cual parte de un criterio poco convencional. Cómo respondería usted a la siguiente interrogante:

¿Es más probable que un número empiece por 1 o por 9?

En principio parecería lógico pensar que cualquier dígito tiene la misma probabilidad de ser el primero de un número, sin embargo esto no es cierto. La Ley de Benford, también es conocida como la Ley del primer dígito o Ley de los números anómalos, asegura que, en los números que existen en la vida real, la primera cifra que se espera que aparezca con más frecuencia que el resto de los números es el 1. Además, según crece este primer dígito, más improbable es que se encuentre en la primera posición.

A continuación presentamos la distribución establecida por la Ley de Benford:

¿No es asombroso?

En mi opinión esta es una de las leyes más “anti-intuitivas” que conozco, debido a que: ¿No es increíble que haya más de un 30 por ciento de posibilidades de que el dígito con el que empieze una cifra sea el número 1?

Muchos auditores internos excepticos, preguntarían:

¿No parece mucho más razonable que para todos los dígitos la

posibilidad sea de 11.11 por ciento (que se obtiene de hacer 1/9)?

No sólo eso, es algo impresionante la escala descendente en que aparecen el resto de los dígitos; ahora bien existen otros puntos importantes que los auditores internos desconocen sobre esta desconcertante Ley:

Uno – La Ley de Benford no fue creada por Frank Benford

Al percatarse de que las páginas de los primeros dígitos en las tablas de logaritmos estaban más desgastadas que las páginas de los últimos dígitos, el astrónomo y matemático Simon Newcomb descubrió, en 1881, que los dígitos iniciales significativos de los números (i.e. excluyendo el cero) no se distribuían de manera uniforme. Dado que estas tablas eran utilizadas por científicos de diferentes disciplinas, Newcomb conjeturó que este fenómeno debía estar presente en bases de datos provenientes de distintos ámbitos de la vida.

Pero fue en 1938, cuando el físico Frank Benford redescubrió el fenómeno en 20 muestras de diferentes fuentes, que se aportó evidencia rigurosa sobre la presencia recurrente de la distribución logarítmica de los dígitos. Entre las bases de datos que mostraban esta frecuencia relativa se encontraban las siguientes: cuentas de electricidad, área de los ríos, peso atómico de los elementos químicos, números de los inmuebles en las calles, número de habitantes en las poblaciones, estadísticas de la liga americana de béisbol, número de defunciones en desastres, etc.

Nota al margen: Este sin lugar a dudas, es un fantástico cumplimiento de la Ley de Stigler, también conocida como la Ley Eponimia de Stigler, la cual es un axioma formulado por Stephen Stigler en 1980, el cual establece que “Ningún descubrimiento científico recibe el nombre de quien lo descubrió en primer lugar”, puede considerarse una manifestación inversa del llamado «Efecto Mateo», con el que la Ley de Stigler está emparentada.

Dos – La Ley de Benford tiene limitaciones

Esta Ley no se aplica a fenómenos que son aleatorios, no se puede usar en la lotería, ni ningún juego de azar cumple Benford. Lamentablemente, no nos sirve para hacernos ricos, debido a que no podría ser útil para predecir los números de la lotería, el resultado de la lotería es totalmente aleatorio, de forma que cada número tiene la misma probabilidad de aparecer. 

Lo que necesita es que no sean números al azar. La Ley de Benford se aplica para conjuntos grandes de números que no sean aleatorios. Se usa esta ley cuando uno trabaja con conjuntos de muchos números, que obedezcan a la recolección de datos que provengan de la naturaleza (incluyendo factores sociales). Donde sí la puedes usar:

Facturas por servicio de energía eléctrica de una empresa distribuidora de electricidad.

Facturas de una compañía telefónica.

Pagos por reclamaciones de una compañía de seguros.

Facturación diaria por clientes en un hipermercado o una gran tienda por departamentos.

Tres – Su primer uso práctico fue para detectar fraudes fiscales

El profesor de contabilidad y matemático Mark Nigrini en la década del noventa, empleó la Ley de Benford para encontrar fraudes en declaraciones impositivas, basado en el principio de que las desviaciones que presenten los dígitos iniciales en una población de datos, con respecto a un patrón logarítmico esperado, podría sugerir la existencia de irregularidades.

La idea es simple pero poderosa, si a partir del conjunto de datos contables, registrados en los asientos de entradas y salidas, las primeras cifras significativas siguen la Ley de Benford, la declaración no ha sido, probablemente, manipulada. De forma general, se considera que quien maquilla datos de una contabilidad u otro tipo de fraude con datos socioeconómicos tiende a distribuir por inadvertencia los dígitos significativos de forma relativamente uniforme.

La Ley de Benford no brinda una respuesta final con respecto a si han ocurrido irregularidades, pero es útil para guiar al auditor a investigar más las discrepancias.

Lo que hace que la Ley de Benford sea particularmente útil para este tipo de evaluación  es que permite realizar análisis sistemáticos y profundos, en forma simultánea, de un gran número de transacciones.

Cuatro - No necesitas adquirir un programa sofisticado de análisis de datos para aplicarla

Solo necesitas tener la información que se va a estudiar en un archivo plano, el cual puedes exportar a una hoja electrónica y luego aplicar la fórmula de la Ley de Benford.

Veamos un ejemplo. En el siguiente link puedes descargar la tabla de la población de todos los municipios españoles en 2006 (obtenida de la página del Instituto Nacional de Estadística):

Haz click aquí para descargar el archivo de Excel.

Usando la función de Excel EXTRAE se aísla el primer dígito del dato de la población en cada municipio. Aplicando las herramientas de análisis de Excel podemos calcular la frecuencia de aparición de cada valor, y vemos en esta población el fiel cumplimiento de la Ley de Benford. 

Información importante: La tabla y el cálculo fue tomado del sitio web de la Facultad de Ciencias Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid.

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